Funkcja liniowa na maturze podstawowej - współczynniki a i b

Funkcja liniowa to funkcja postaci f(x) = ax + b, której wykresem jest prosta. Na maturze podstawowej prawie każde zadanie o niej sprowadza się do odczytania dwóch liczb: a mówi, jak stromo i w którą stronę biegnie prosta, a b - w którym punkcie przecina oś OY. Gdy znasz obie, miejsce zerowe, monotoniczność i wzór z dwóch punktów liczysz w jednej linijce.

Co mówią współczynniki a i b

Znak współczynnika a decyduje o monotoniczności:

• a > 0 - funkcja rosnąca,
• a < 0 - funkcja malejąca,
• a = 0 - funkcja stała, wykres to prosta równoległa do osi OX.

Współczynnik kierunkowy jest też tangensem kąta, jaki prosta tworzy z dodatnią półosią OX: a = tg α. Dla f(x) = √3 · x mamy tg α = √3, więc prosta jest nachylona pod kątem 60°.

Wzór funkcji z dwóch punktów

Wykres przechodzi przez punkty A = (1, 3) i B = (3, 7). Wyznacz wzór funkcji.

1. Współczynnik a: a = (7 − 3) / (3 − 1) = 4 / 2 = 2.
2. Współczynnik b: podstaw jeden z punktów do y = 2x + b. Dla A: 3 = 2 · 1 + b, więc b = 1.
3. Wzór: f(x) = 2x + 1.
4. Kontrola drugim punktem: f(3) = 2 · 3 + 1 = 7 - zgadza się z B.

Krok 4 zajmuje kilka sekund i wyłapuje najczęstszy błąd: odjęcie współrzędnych w różnej kolejności w liczniku i mianowniku. Jeśli w liczniku odejmujesz od drugiego punktu pierwszy, w mianowniku też.

Jedna funkcja, wszystkie własności

Dla f(x) = −3x + 6:

• miejsce zerowe: −3x + 6 = 0, więc x = 2,
• przecięcie z osią OY: punkt (0, 6),
• monotoniczność: a = −3 < 0, więc funkcja jest malejąca,
• wartości dodatnie: −3x + 6 > 0 dla x < 2 - wykres leży nad osią OX na lewo od miejsca zerowego,
• pole trójkąta, który wykres tworzy z osiami: przyprostokątne mają długości 2 i 6, więc pole = ½ · 2 · 6 = 6.

Pole trójkąta odciętego przez prostą od układu współrzędnych to jedno z ulubionych zadań CKE - wystarczy policzyć oba punkty przecięcia z osiami.

Zadania z parametrem i z życia

Parametr w monotoniczności. Dla jakich m funkcja f(x) = (m − 2)x + 4 jest rosnąca? Współczynnik kierunkowy musi być dodatni: m − 2 > 0, więc m > 2. Dla m = 2 funkcja jest stała, a nie rosnąca - to częsty dystraktor w odpowiedziach.

Zadanie tekstowe. Przejazd taksówką kosztuje 8 zł opłaty początkowej i 3 zł za każdy kilometr. Koszt opisuje funkcja f(x) = 3x + 8, gdzie x to liczba kilometrów. Za 12 km zapłacisz f(12) = 3 · 12 + 8 = 44 zł. Opłata stała to zawsze b, a stawka za jednostkę to zawsze a.

Proste równoległe i prostopadłe opisują się przez współczynniki kierunkowe: równoległe mają równe a, a prostopadłe spełniają a₁ · a₂ = −1. Pełne schematy z zadaniami z arkusza są w poradniku o geometrii analitycznej.

Odczytywanie z wykresu

Gdy funkcja dana jest wykresem, szukaj punktów o całkowitych współrzędnych - leżą na przecięciu linii kratki. Z dwóch takich punktów liczysz a, a punkt na osi OY daje od razu b. Jeśli prosta przecina oś OY poza kratką, i tak wystarczą dwa dowolne punkty kratowe i schemat z poprzedniej sekcji. Ogólne zasady czytania wykresu, wspólne dla wszystkich funkcji, opisuje poradnik własności funkcji z wykresu.

Pułapki, za które przepadają punkty

• Pomylenie a z b. We wzorze f(x) = 5 − 2x współczynnik kierunkowy to −2, a nie 5 - kolejność składników nie ma znaczenia, liczy się, przy czym stoi x.
• Miejsce zerowe jako b/a. Właściwy wzór to −b/a; zgubiony minus daje punkt po złej stronie osi.
• Funkcja stała jako rosnąca. Dla a = 0 funkcja nie jest ani rosnąca, ani malejąca.
• Brak kontroli drugim punktem przy wyznaczaniu wzoru.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Funkcja liniowa to fundament pod funkcję kwadratową i ciągi arytmetyczne - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego leżą na prostej. Zadania, które dają pewne punkty w każdym arkuszu, zebraliśmy w poradniku pewniaki na maturze podstawowej.

Źródło: własności funkcji liniowej za broszurą „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023).