Trygonometria kąta ostrego na maturze — definicje i dwa schematy

Trygonometria na maturze podstawowej to wąski, przewidywalny wycinek: funkcje kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. W arkuszu z maja 2025 sprawdzały ją trzy kolejne zadania (17.–19.) — i wszystkie dało się rozwiązać trzema definicjami plus dwiema tożsamościami, które są wydrukowane w karcie wzorów. Ten poradnik przechodzi przez oba typowe schematy na zadaniach z tego arkusza, z oficjalnym kluczem.

Trzy definicje, które załatwiają wszystko

W trójkącie prostokątnym, dla kąta ostrego α:

Do tego dwie tożsamości (obie w karcie, sekcja „Trygonometria"):

• jedynka trygonometryczna: sin²α + cos²α = 1,
• tangens z ilorazu: tg α = sin α / cos α.

Oraz tabela wartości dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — też wydrukowana w karcie, więc nie musisz jej kuć; musisz umieć z niej rozpoznać kąt po wartości (np. cos α = √3/2 → α = 30°).

Schemat 1: równanie trygonometryczne (maj 2025, zad. 17, 1 pkt)

Treść z arkusza: „Kąt α jest ostry i spełnia warunek √3·tg α = 2·sin α. Cosinus kąta α jest równy…"

Rozwiązanie w trzech ruchach:

1. Zamień tangens na iloraz (tożsamość z karty): √3 · (sin α / cos α) = 2 · sin α.
2. Kąt jest ostry, więc sin α ≠ 0 — możesz podzielić obie strony przez sin α: √3 / cos α = 2.
3. Stąd cos α = √3/2 (odpowiedź C z klucza; przy okazji: α = 30°).

Pułapka maturalna: dzielenie przez sin α wolno wykonać tylko dlatego, że kąt ostry gwarantuje sin α > 0. CKE wpisuje „kąt α jest ostry" właśnie po to — to nie ozdobnik, to licencja na dzielenie.

Schemat 2: trójkąt z dorysowaną figurą (maj 2025, zad. 18, 2 pkt)

Treść z arkusza: trójkąt prostokątny ABC, przeciwprostokątna BC, przyprostokątna AB = 6, a środkowa CD = 5 (D to środek AB). Kąt ADC oznaczono α, kąt ABC — β.

Cały myk polega na zauważeniu, że środkowa tworzy mniejszy trójkąt prostokątny ACD (kąt prosty przy A jest wspólny):

1. D to środek AB, więc AD = 3.
2. Z Pitagorasa w trójkącie ACD: AC = √(5² − 3²) = √16 = 4.
3. Zad. 18.1: tg α = AC/AD = 4/3 (odpowiedź D z klucza).
4. Zad. 18.2: sin β w dużym trójkącie ABC wymaga przeciwprostokątnej: BC = √(6² + 4²) = √52 = 2√13. Stąd sin β = AC/BC = 4/(2√13) = 2/√13 (odpowiedź A z klucza).

Zwróć uwagę na dystraktory: 4/5 to sin α (w małym trójkącie), 3/4 to tg kąta „z drugiej strony", 4/3 to tg α. CKE buduje odpowiedzi z liczb, które naprawdę występują w rysunku — samo „coś podzielić przez coś" nie wystarczy, trzeba pilnować, który bok leży naprzeciw którego kąta.

Jak nie pomylić sin z cos (raz na zawsze)

Najczęstszy błąd to liczenie funkcji „z boków trójkąta", zamiast „od kąta". Procedura odporna na stres:

1. Postaw palec na kącie z zadania.
2. Bok, którego palec nie dotyka — to przyprostokątna „naprzeciw".
3. Bok, którego palec dotyka (i nie jest przeciwprostokątną) — „przy".
4. Dopiero teraz podstaw do definicji.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Trygonometria łączy się w arkuszu z planimetrią i geometrią analityczną (współczynnik kierunkowy prostej to tangens!). Pełną mapę pewnych punktów znajdziesz w pewniakach matury podstawowej.