Zadania dowodowe „wykaż, że” na maturze podstawowej — schematy

Zadania z poleceniem „wykaż, że" to najczęściej opuszczane zadania arkusza podstawowego — a niesłusznie, bo na poziomie podstawowym niemal wszystkie sprowadzają się do dwóch schematów algebraicznych. Nie musisz niczego wymyślać: musisz umieć zapisać liczby z treści zadania i przekształcić wyrażenie tak, żeby teza stała się widoczna.

Krok zero: jak zapisać liczby z treści zadania

Dowód zaczyna się od przetłumaczenia słów na algebrę. Te zapisy trzeba znać na pamięć — w karcie wzorów CKE ich nie ma:

Najczęstszy błąd: dwie różne liczby parzyste to 2n i 2m, nie 2n i 2n — drugi zapis oznacza dwa razy tę samą liczbę i unieważnia dowód.

Schemat 1: dowód podzielności — wyłącz dzielnik przed nawias

„Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3."

1. Oznacz liczby: n, n + 1, n + 2, gdzie n jest liczbą całkowitą.
2. Zapisz sumę i uprość: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3.
3. Wyłącz dzielnik przed nawias: 3n + 3 = 3(n + 1).
4. Wniosek: n + 1 jest liczbą całkowitą, więc 3(n + 1) dzieli się przez 3 — co należało wykazać.

Cały dowód podzielności to dążenie do postaci dzielnik · (liczba całkowita). Jeśli po uproszczeniu nie widać wspólnego czynnika, spróbuj wzorów skróconego mnożenia — na przykład n³ − n = n(n − 1)(n + 1) to iloczyn trzech kolejnych liczb, a wśród trzech kolejnych liczb zawsze jest parzysta i podzielna przez 3.

Schemat 2: dowód nierówności — zwiń wszystko do kwadratu

„Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi a² + b² ≥ 2ab."

1. Przenieś wszystko na jedną stronę: a² − 2ab + b² ≥ 0.
2. Zwiń wzorem skróconego mnożenia: (a − b)² ≥ 0.
3. Wniosek: kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, więc nierówność zachodzi dla dowolnych a i b.

Klucz do tego schematu: kwadrat dowolnego wyrażenia jest ≥ 0. Prawie każda nierówność z podstawy da się sprowadzić do sumy kwadratów lub kwadratu i składnika jawnie nieujemnego. Formalnie wygodnie jest prowadzić rachunek na różnicy L − P i pokazać, że jest nieujemna — wtedy nikt nie zarzuci, że dowód „wyszedł od tezy" bez uzasadnienia równoważności.

Trzy błędy, które zerują dowód

• Sprawdzenie na przykładach. Podstawienie n = 1, 2, 3 niczego nie dowodzi — teza ma zachodzić dla każdej liczby. To najczęstsza przyczyna zera punktów przy zapisanej stronie rachunków.
• Zgubione zastrzeżenie o n. Zapis 2n + 1 jest liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy n jest całkowite. Bez słów „gdzie n jest liczbą całkowitą" wniosek o podzielności wisi w próżni.
• Urwany wniosek. Po dojściu do 3(n + 1) dopisz zdanie, dlaczego to kończy dowód. Punktacja dowodów jest zwykle dwustopniowa: istotny postęp i dowód pełny — bez wniosku łatwo zostać na stopniu pierwszym. Więcej o tym, jak klucz dzieli punkty, przeczytasz w poradniku jak zapisywać rozwiązania zadań otwartych.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Dowody to tylko 2 punkty z 50 — zobacz, które pewniaki dają ich najwięcej, i sprawdź czego nie ma w karcie wzorów, zanim zaczniesz powtórki.

Źródło: wzory skróconego mnożenia za broszurą „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023), sekcja 6.