Twierdzenie Talesa i podobieństwo trójkątów - matura podstawowa
7 min czytania · aktualizacja
Twierdzenie Talesa mówi, że proste równoległe przecinające ramiona kąta odcinają na nich odcinki proporcjonalne. Podobieństwo trójkątów to ta sama idea w szerszej postaci: trójkąty podobne mają równe kąty i proporcjonalne boki, a skala podobieństwa k mnoży obwód przez k i pole przez k². Na maturze podstawowej oba tematy sprowadzają się do ułożenia jednej proporcji.
Twierdzenie Talesa w jednym rysunku
Kąt ma wierzchołek O. Na jednym ramieniu leżą punkty A i B, na drugim C i D, a odcinki AC i BD są równoległe. Wtedy:
- |OA| / |AB| = |OC| / |CD|,
- |OA| / |OB| = |OC| / |OD|,
- |OA| / |OB| = |AC| / |BD| - ta trzecia proporcja zawiera odcinki równoległe i działa tylko wtedy, gdy porównujesz odcinki od wierzchołka, nie same „kawałki” ramion.
Przykład. |OA| = 4, |AB| = 6, |OC| = 5. Oblicz |CD|. Z proporcji 4 / 6 = 5 / x mamy 4x = 30, więc x = 7,5.
Najczęstszy błąd: proporcja odcinków równoległych z odcinkami „środkowymi” (|AB| i |CD|). Gdy w zadaniu pojawiają się odcinki równoległe, zawsze licz od wierzchołka kąta: |OA| / |OB|, nie |OA| / |AB|.
Trzy cechy podobieństwa trójkątów
| Cecha | Co trzeba wykazać | Kiedy jej używać |
|---|---|---|
| kkk (kąt-kąt-kąt) | dwa kąty jednego trójkąta są równe dwóm kątom drugiego | rysunki z prostymi równoległymi, wspólny kąt, kąty wierzchołkowe |
| bbb (bok-bok-bok) | trzy pary boków są w tej samej proporcji | podane długości wszystkich boków |
| bkb (bok-kąt-bok) | dwie pary boków proporcjonalne i równy kąt między nimi | wspólny kąt i dwa boki przy nim |
W praktyce najczęściej działa cecha kkk. Wystarczą dwa kąty, bo trzeci wynika z sumy 180°. Gdy w trójkącie poprowadzisz odcinek równoległy do podstawy, odetniesz trójkąt podobny do całego - to dokładnie sytuacja z twierdzenia Talesa.
Skala podobieństwa: długości, obwody, pola
Jeżeli trójkąt T₂ jest podobny do T₁ w skali k, to:
| Wielkość | Zmienia się | Przykład k = 3 |
|---|---|---|
| boki i wysokości | k razy | 3, 4, 5 → 9, 12, 15 |
| obwód | k razy | 12 → 36 |
| pole | k² razy | 6 → 54 |
Zadanie odwrotne. Pola dwóch trójkątów podobnych wynoszą 8 i 50. Ile wynosi skala podobieństwa? Stosunek pól to k² = 50 / 8 = 25/4, więc k = 5/2. Pierwiastek z ilorazu pól - nie sam iloraz.
Zadania z życia: cień i wysokość
Kij o wysokości 1,5 m rzuca cień długości 2 m. W tej samej chwili drzewo rzuca cień 12 m. Jak wysokie jest drzewo?
Promienie słońca padają równolegle, więc kij z cieniem i drzewo z cieniem tworzą trójkąty prostokątne podobne (cecha kkk). Proporcja: 1,5 / 2 = h / 12, więc h = 1,5 · 6 = 9 m.
Ten sam schemat rozwiązuje zadania z lustrem, z drabiną opartą o ścianę i z szerokością rzeki mierzoną z brzegu.
Wysokość w trójkącie prostokątnym
Wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt prostokątny na dwa trójkąty podobne do niego i do siebie. Stąd wynika zależność h² = p · q, gdzie p i q to odcinki, na które wysokość dzieli przeciwprostokątną. Dla p = 4 i q = 9: h² = 36, więc h = 6.
Pułapki, za które przepadają punkty
- Proporcja z „kawałkami” ramion przy odcinkach równoległych - licz od wierzchołka kąta.
- Pole w skali k zamiast k². Pole trójkąta dwa razy większego jest cztery razy większe.
- Złe dopasowanie boków. Odpowiadające sobie boki leżą naprzeciw równych kątów - przed proporcją zaznacz równe kąty na rysunku.
- Brak uzasadnienia podobieństwa w zadaniu otwartym. Klucz wymaga wskazania cechy i równych kątów, nie tylko proporcji.
Najczęstsze pytania (FAQ)
Co mówi twierdzenie Talesa?
Ile razy zwiększa się pole trójkąta podobnego w skali k?
Jak udowodnić, że trójkąty są podobne?
Jak obliczyć skalę podobieństwa z pól trójkątów?
Podobieństwo często łączy się z trygonometrią, bo trójkąty podobne mają te same kąty, a więc te same wartości sinusa, cosinusa i tangensa - powtórz trygonometrię kąta ostrego. Jak zapisać uzasadnienie podobieństwa w zadaniu z dowodem, pokazuje poradnik o zadaniach dowodowych.
Źródło: twierdzenie Talesa i cechy podobieństwa trójkątów za broszurą „Wybrane wzory matematyczne” (CKE, formuła 2023).